第 6 章 · 希腊字母与风险

0. 为什么要把公式拆成偏导

上一章给了我们一个完整的定价公式 $C(S, K, T, r, \sigma)$。但实际持仓不是「定价一次就走」 — 标的会跳、波动率会变、时间会流逝。我们关心的是：

• 标的涨 1 美元，我的期权赚多少？（$\Delta$）
• 这个赚法本身会不会随 $S$ 加速？（$\Gamma$）
• 波动率突然飙升 1%，期权值多少？（Vega）
• 每天什么都不做，会损失多少时间价值？（$\Theta$）
• 美联储动了利率，影响有多大？（Rho）

每个问题都对应一个偏导。希腊字母只是给这些偏导起的名字 — 它们是风险敞口的语言。

1. Δ：价格对 S 的一阶敏感度

口径：标的涨 1 美元，Call 涨约 $\Delta$ 美元。Call 的 Δ ∈ (0, 1)，Put 的 Δ ∈ (−1, 0)（由平价公式可得 $\Delta_{P} = \Delta_{C} - 1$）。

从价格曲线看 Δ：先把 Call/Put 的价值曲线画出来 — 内在价值是折线（max(S−K, 0) 或 max(K−S, 0)），理论价值是它上方的光滑曲线。Δ 就是这条理论价值曲线在某点的切线斜率。Call 价值随 S 单调递增 → Δ > 0；Put 价值随 S 单调递减 → Δ < 0。

再把这两条曲线在每一点的斜率提取出来（求一阶导），就得到下图的 Δ 曲线 — 同样三条线对比不同 T：

Δ 的四种解释（每种都对应一类用法）：

• 变化率（曲线斜率）：标的涨 1 美元，期权理论价值变多少 — 上图任一点的切线斜率。这是 Δ 最直接的几何含义。
• 套保比率：用 100 ÷ Δ 得到「为对冲 1 张期权需要多少张标的合约」。卖出 1 张 Δ=0.5 的 Call，买 50 股股票即可瞬时 Δ-中性。
• 等效标的合约头寸：因为标的合约 Δ 恒为 100（按业界整数惯例），Δ=50 的期权头寸方向性敞口等同于 0.5 张标的 — 这让期权与裸股票头寸的风险量级可直接比较。
• 近似行权概率：在风险中性测度下 $N(d_2)$ 是行权概率，$N(d_1)$ 与之接近 — 所以 Δ 也常被读作「这张期权多大几率会被行权」。注意只是近似，利率 / 股利会扭曲这个解释。

注意：Δ 是瞬时指标，只在小幅变动有效。S 跳得多了，Δ 自己会漂移 — 这就要靠下一节的 Γ 来修正。

2. Γ：Δ 自身的变化率

$\varphi$ 是标准正态密度。Γ ≥ 0 对 Long Call/Put 总成立 — 长期权在所有 S 下都凸（曲线向上弯）。Call 和 Put 的 Γ 完全相同。

从 Δ 的斜率看 Γ：把 Call Δ 和 Put Δ 画在同一张图上（共享 S 横轴），每条曲线在某点的斜率就是该点的 Γ。两端 S 远离 K 时曲线趋于水平（斜率 → 0，Γ → 0）；S 接近 K 时曲线最陡（斜率最大，Γ 最大）。Call Δ ∈ [0, 1] 与 Put Δ ∈ [−1, 0] 上下相差恒为 1 — 这就是 $\Delta_P = \Delta_C - 1$ 的几何含义，两条曲线斜率完全相同，所以 Call 和 Put 共享同一个 Γ。

为什么重要：Δ 对冲只能消除瞬时一阶价格风险。当 S 跳 5 美元，Δ 自己会变 — 你昨晚做的对冲今早就不再 Δ-中性了。Γ 越大，Δ 漂移越快，再平衡频率就要越高。

这一点用二阶泰勒展开看最清楚。S 从 $S_1$ 变到 $S_2$，期权新价值约为：

一阶项是 Δ 的局部线性估计，二阶项的系数就是 Γ（除以 2）。Long Γ 的人在 S 大幅波动时被动赚这个二次项收益（$(S_2-S_1)^2 \geq 0$，乘正 Γ 必为正）；Short Γ 的人则被它反咬。

• 临到期 + 平值 的期权 Γ 最大 — 这是「gamma 钉子」（pin risk）的来源。
• Long 期权 = Long Γ：股价大幅波动时，被动赚凸性收益（但要付 Θ 作代价 — 见下节）。
• Short 期权 = Short Γ：股价稳定时收 Θ，剧烈波动时被 Γ 反咬一口。

3. Vega：σ 的影响（per 1%）

严格说 Vega 不是希腊字母（希腊文里没有这个字母），但用法和其他 Greek 一样。学术文献常用 κ (Kappa) 表示，本项目沿用业界俗称 Vega。Call 和 Put 的 Vega 完全相同（平价公式 $C - P = S - K e^{-rT}$ 不含 σ → 两边对 σ 求导相等）。

项目工程约定：原始 Vega 表示「σ 涨 1.0（即 100%）期权价格变多少」 — 数字大得不直观。我们除以 100，让 Vega 表示「σ 涨 1 个百分点（per 1%）期权价格变多少」。

Vega 是波动率交易的核心：当你认为隐含波动率被高估，可以构造 Vega-负的组合（如卖跨式）；反之做多 Vega（买跨式）。后续若做波动率曲面，这是入口。

Γ vs Vega — 看似相像，本质不同：两条曲线形状几乎一样（都正比于 $\varphi(d_1)$，平值最大），但描述的是两种不同的波动率。Γ 衡量你想要更高 / 更低的已实现波动率（标的真实跳动有多剧烈）；Vega 衡量你想要更高 / 更低的隐含波动率（市场对未来波动的定价）。两者通常同向，但不总是 — 隐含波动率下降时标的可能反而剧烈震荡，反之亦然。这就是为什么做市商把 Γ 头寸（赚 / 输已实现）与 Vega 头寸（赚 / 输 IV 重定价）分开管理。

4. Θ：时间衰减（per day）

注意符号约定：$T_{\text{流逝}}$ 是「过去的时间」，不是 BS 公式里的「剩余时间」。多数文献和本项目都把 Θ 写成负数，表示「时间过 1 天，期权价值减少多少」。Long Call/Put 通常 Θ < 0。

项目工程约定：把年化 Θ 除以 365，得到「每过一个日历日损失多少」 — 比按年口径直观很多。

Θ 不是永远为负：深度实值的欧式 Put（股票型结算 + 不能提前行权）由于利率折现效应，时间过去反而能让现值上升 → Θ > 0。这是相对少见的边角情形（前提是欧式期权，美式同样情形下持有人会立刻行权拿利息），但说明把 Θ 一律当作"成本"是粗糙的。

Γ-Θ 对偶：Long 期权付 Θ 但收 Γ — 时间和波动是互换关系。BS 偏微分方程其实就是这个对偶的精确形式：

所以同一张期权的 Γ 越大，Θ 也越深 — 这是无套利的强约束，不是巧合。

5. Rho：r 的影响（per 1%）

Call 的 Rho ≥ 0：利率上涨 → 行权价折现值 $K e^{-rT}$ 下降 → 期权更值钱。Put 的 Rho ≤ 0，方向相反。项目约定：除 100，per 1% 口径。

三类标的的 Rho 差异 — 利率影响期权有两条传导路径：① 改变远期价格 $F = S e^{(r-q)T}$，② 改变折现因子 $e^{-rT}$。两条路径在不同标的下强弱不同：

FX 期权双 Rho：远期价 $F = S \cdot \tfrac{1+r_d T}{1+r_f T}$ 同时含本国利率 $r_d$ 与外国利率 $r_f$，所以拆成两个敏感度 — 业界用 $\rho_1$ 表本国利率敏感度、$\Phi$ (Phi) 表外国利率敏感度。本国利率上升远期价上涨 → Call ↑ Put ↓；外国利率上升远期价下跌 → Call ↓ Put ↑。

实务上 Rho 几乎总是最弱的 Greek。短期股票期权（T < 1 年）+ 利率本来就不剧烈变 → 对 P/L 的贡献远小于 Δ Γ Vega Θ。但有两个场景必须记住：长期权 LEAPS（T 数年）、利率敏感的期权（FX 期权、利率期权）。

6. 一组数值 + 四基础腿符号速查

固定 $K=100, r=2\%, \sigma=30\%, T=0.5\text{y}$，看 Long Call 在不同 $S$ 下的 5 个 Greek（项目口径：Vega/Rho per 1%, Theta per day）：

注意几个规律：Δ 单调递增（深 OTM 趋 0，深 ITM 趋 1）；Γ、Vega、|Θ| 都在 ATM（S=100）附近最大；Rho 也随 S 单调递增（更可能行权 → 更在意折现）。

上面的具体数值都是 Long Call 的。把 Call/Put × Long/Short 四种基础腿的符号列在一张表上，记住几条规律就够：

三条速记规律：

• Γ、Vega 只看多空，不看方向：所有 Long 期权 Γ > 0、Vega > 0；所有 Short 期权 Γ < 0、Vega < 0。Call/Put 不影响。
• Θ 与 Γ/Vega 反号：Long 期权付 Θ（时间衰减为敌）、Short 期权收 Θ（时间衰减为友）。这正是上一节 BS PDE 给出的对偶。
• Δ、Rho 同时受方向 + 多空影响：Long Call 与 Short Put 共享「Δ+, Rho+」（都看涨）；Long Put 与 Short Call 共享「Δ−, Rho−」（都看跌）。这也是为什么 Long Call ≈ Long 股票 + Long Put（合成多头）的常见构造能成立。

7. 风险敞口管理

实务做市与组合管理是「把组合的若干 Greek 同时压到 0 附近」的过程。基本工具是各 Greek 在组合层线性叠加。

核心心智模型：每个 Greek 都是一种风险源的导数。对冲的本质是「用一个风险源平衡另一个」 — 不可能凭空消除所有风险（否则就是无风险套利）。Long Γ 的人不是「没风险」，而是用 Θ 衰减买 凸性。