第 5 章 · Black-Scholes 模型

在无套利约束下导出欧式期权的封闭定价公式 C(S,K,T,r,σ)

理解风险中性测度的换轨意义、复制组合与对冲推导、记住 C 与 P 的封闭式以及 d1 / d2 的含义

前置假设 · Preconditions

无套利、连续交易、可做空、无交易成本
常数无风险利率 r 与常数 σ
对数正态价格
欧式期权（不可提前行权）
无股息（或常数连续股息率 q）

本章核心式

C = S_0\, N(d_1) - K e^{-rT}\, N(d_2)

欧式 Call 的 Black-Scholes 公式。 $N(\cdot)$ 是标准正态 CDF； $d_1, d_2$ 由 $S_0, K, r, \sigma, T$ 决定。注意：上一章主观的 $\mu$ 已经被无风险利率 $r$ 替换，结果与每个人的预期收益率无关 — 这正是无套利定价的力量。

1. 复制即定价

上一章我们卡在 $\mu$ 上：每个人的主观漂移不同，所以期望盈亏不同，无法成交。Black-Scholes 的核心洞察是换问题：

不要问「这份合约的期望收益是多少」，而要问「能否用现有的标的 + 现金，构造一个组合，让它在未来所有可能状态下的盈亏都和这份合约完全一样」。

如果能 — 那么按无套利原理：

\text{合约价格} = \text{复制组合的当前成本}

这是一个客观、唯一、不依赖任何主观信念的数字。如果合约价格高于复制成本，套利者可以「买复制组合 + 卖合约」无风险赚差价；反之亦然。市场会把价格压回到复制成本。

2. 二叉树小例：μ 是怎么消失的

为了看清「 $\mu$ 怎么不见的」，先用最简化的设定 — 一期、两状态。设 $S_0=100$ ，到期 $T=1$ 年时股价只能上涨到 $S_u = 120$ 或下跌到 $S_d = 90$ 。无风险利率 $r=2\%$ ，行权价 $K=100$ 。

一步二叉树：到期股价只能取两个值，期权 payoff 因此也只有两个值

构造复制组合：用 $\Delta$ 股股票 + $B$ 块现金（无风险账户）。要求两状态下都和 Call 价值相等：

\begin{cases} \Delta \cdot 120 + B e^{rT} = 20 \\ \Delta \cdot 90 + B e^{rT} = 0 \end{cases}

两式相减得 $\Delta = \frac{20 - 0}{120 - 90} = \tfrac{2}{3}$ 。代回求 $B = -90 \cdot \tfrac{2}{3} \cdot e^{-rT} \approx -58.81$ （负号 = 借钱）。所以 Call 当前价值 =

C_0 = \Delta \cdot S_0 + B = \tfrac{2}{3} \cdot 100 - 58.81 \approx 7.85

关键观察：整个推导过程中，「股价上涨/下跌的真实概率」从未出现。乐观投资者（认为上涨概率 0.9）和悲观投资者（认为上涨概率 0.1）都会得到 同一个 7.85。 $\mu$ 不是被估计了 — 是被消掉了。

换一种角度看同一件事。把 $C_0$ 改写成「某个概率」加权平均后再折现的形式：

C_0 = e^{-rT}\bigl[q^* \cdot C_u + (1-q^*) \cdot C_d\bigr],\quad q^* = \frac{e^{rT} - d}{u - d}

代入数字 $q^* = \frac{e^{0.02} - 0.9}{1.2 - 0.9} \approx 0.401$ ， $C_0 = e^{-0.02}(0.401 \cdot 20 + 0.599 \cdot 0) \approx 7.85$ 。和复制结果完全一致。

这个 $q^*$ 不是真实的上涨概率 — 它只是让公式自洽的一个权重。它的特征是：在 $q^*$ 下，股价的期望增长率正好等于无风险利率 $\mathbb{E}^*[S_T] = S_0 e^{rT}$ 。这就叫风险中性概率。

3. 风险中性测度：μ → r 的换轨

把二叉树的极限无穷细化到连续时间，结论是：欧式期权的客观价格仍然可以写成期望积分，形式与第 4 章一模一样，只把 $\mu$ 换成 $r$ ，然后整体折现：

C = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\bigl[\max(S_T - K,\,0)\bigr]

其中期望符号上的 $\mathbb{Q}$ 表示在风险中性测度下取期望 — 在这个虚构的概率世界里，股价的对数正态参数从 $\mu$ 改成 $r$ ：

S_T = S_0 \exp\!\left(\left(r - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\right),\quad Z \sim \mathcal{N}(0,1)

注意： $\sigma$ 不变 — 测度变换不影响波动率，只改漂移项。这也是「 $\sigma$ 是可标定参数、 $\mu$ 是主观参数」这条划分在 BS 框架下仍然成立的原因。

哲学要点：风险中性测度 $\mathbb{Q}$ 不是「真实世界里事情发生的概率」，而是记账工具。它存在的唯一理由是让定价公式自洽。问「现实中股价上涨的概率是多少？」 — 用真实测度 $\mathbb{P}$ ；问「这份合约公允定价多少？」 — 用 $\mathbb{Q}$ 。两套测度服务于两个不同问题。

4. 公式速记：C, P, d₁, d₂

把上节的期望积分用对数正态密度展开（积分技巧与第 4 章解析法同形），就得到 Black-Scholes 闭式：

C = S_0\,N(d_1) - K e^{-rT}\,N(d_2)

P = K e^{-rT}\,N(-d_2) - S_0\,N(-d_1)

d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \tfrac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}},\quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}

符号	数值含义	直觉
N(d_2)	风险中性概率 $\mathbb{Q}(S_T > K)$	期权到期被行权的概率（在 Q 下）
N(d_1)	Δ — 价格对 S 的一阶敏感度	复制组合中需要持有的股票份数
K e^(−rT) N(d_2)	行权价的现值 × 行权概率	行权时支付 K 的期望折现成本
S_0 N(d_1)	行权时得到股票的期望折现价值	「带行权条件」的股票期望现值

所以 $C = (\text{行权得到股票的期望现值}) - (\text{行权支付 K 的期望现值})$ 。每一项都是条件期望（条件在「到期被行权」上），这就是 $N(d_1), N(d_2)$ 同时出现的原因。

一个具体例子： $S_0=100, K=100, r=2\%, \sigma=30\%, T=0.5\text{y}$ 时， $d_1 \approx 0.153$ ， $d_2 \approx -0.059$ ， $C \approx 8.91$ 。

BS 公式 C(S)内在价值 max(S−K, 0)

Black-Scholes Call 价格曲线（K=100, r=2%, σ=30%, T=0.5y）— 永远在内在价值之上，差距 = 时间价值

BS 曲线永远在内在价值之上 — 两者之差就是时间价值。深度实值区域曲线趋近 $S - K e^{-rT}$ （折现内在价值）；深度虚值区域趋近 0；平值附近时间价值最厚。

5. 看跌-看涨平价：一切套利的起点

一个不依赖具体定价模型的恒等式 — 只依赖无套利本身：

C - P = S_0 - K e^{-rT}

推导只需观察「持有 Call、卖出 Put」与「持有股票、借入 K e^(−rT)」在到期日所有 $S_T$ 路径下的盈亏完全相同：

到期 S_T	Long C + Short P	Long S − 借 K·e^(−rT)
S_T > K	(S_T − K) − 0 = S_T − K	S_T − K
S_T ≤ K	0 − (K − S_T) = S_T − K	S_T − K

两种组合到期 payoff 完全一样 → 当前价格也必须一样，否则可套利。这就是平价公式。它有几个用法：

知道 $C$ ，立刻能算出 $P$ （反之亦然），无需重新跑公式。
市场报出的 $C, P, S_0$ 不满足平价时，存在无风险套利机会（极少出现，但是验证报价数据合理性的好工具）。
下一章希腊字母里，许多 Call/Put 之间的关系（Δ、Θ、Vega 等）都直接来源于对此式两边求偏导。

本章小结：复制 + 无套利 → $\mu$ 替换为 $r$ → 风险中性测度 $\mathbb{Q}$ → BS 闭式公式。整条线索的起点只是一个朴素观察：能复制就能定价。下一章把这个公式放在显微镜下 — 对每个变量求偏导，得到希腊字母，量化期权价格的风险敞口。