第 2 章 · 到期损益模型

把期权在到期日的盈亏写成到期价格的分段函数

推导 Long Call / Short Call / Long Put / Short Put 的 P/L = f(S_T)，并理解组合是分段函数的叠加

前置假设 · Preconditions

本章核心式

P/L_{\text{call,long}} = \max(S_T - K,\, 0) - P_0

到期日 $T$ 时刻，一份多头看涨期权（Long Call）的盈亏 = 行权获得的现金流 − 当初付出的权利金。本章把这个表达式扩展到全部四种单腿与任意组合。

1. 单腿盈亏：四种基础腿

只看到期日 $T$ 一刻，期权要么有内在价值被行权，要么归零作废。这种「拐弯」结构让到期损益必然是 $S_T$ 的分段线性函数，可以统一用 $\max(\cdot,\,0)$ 写出来。

先剥离权利金，写出每条腿在到期日的原始收益（payoff，不含开仓成本）：

Long Call（多头看涨）

\text{payoff} = \max(S_T - K,\, 0)

$S_T > K$ 时行权，收益随股价线性放大；否则放弃，收益为 0。

Long Put（多头看跌）

\text{payoff} = \max(K - S_T,\, 0)

$S_T < K$ 时行权，收益随股价下跌线性放大；否则放弃。

Short Call（空头看涨）

\text{payoff} = -\max(S_T - K,\, 0)

买方的镜像 — 卖方有义务被行权时承担相反现金流。

Short Put（空头看跌）

\text{payoff} = -\max(K - S_T,\, 0)

买方的镜像；卖方收权利金作为承担义务的报酬。

直接把 payoff 画出来还看不出「赚还是亏」 — 因为开仓那天买方付了 $P_0$ 、卖方收了 $P_0$ 。把这笔现金流叠加进来，才得到下一节真正关心的到期 P/L 曲线。

权利金 $P_0$ 是开仓时立即发生的现金流。买方付出，所以一律 − $P_0$ ；卖方收到，所以一律 + $P_0$ 。它在 $S_T$ 坐标轴上是常数，相当于把 payoff 曲线整体上下平移：

P/L = payoff ± 权利金

以 $K=100,\ P_0=5$ 为例，四条腿的到期 P/L 曲线如下。注意横轴 $S_T$ 上标记的蓝点是盈亏平衡点（Break-Even） —— P/L 恰好等于 0 的 $S_T$ 取值，是观察损益曲线时第一个要找的位置。

P/L vs S_TLong Call · 最大亏 P₀=5，盈利无上限

P/L vs S_TShort Call · 最大盈 P₀=5，亏损无下限

P/L vs S_TLong Put · 最大亏 P₀=5，最大盈 K−P₀=95

P/L vs S_TShort Put · 最大盈 P₀=5，最大亏 K−P₀=95

四张图揭示了一个核心非对称：买方下方风险有限、上方收益放大；卖方上方收益有限、下方风险敞开。这与第 1 章「权利 vs 义务」的语言完全对应 — 权利定价为 $P_0$ ，义务也定价为 $P_0$ 。

P/L 函数对组合而言是逐腿相加的 — 因为现金流本身可加。把每条腿的分段线性折线叠起来，就得到组合的 P/L。下面展示三种经典组合，全部由前面四种基础腿拼成。

买入低行权价 Call $K_1 = 100$ （付 5），卖出高行权价 Call $K_2 = 120$ （收 2），净付出权利金 3。用一个上限封住盈利，换来更低的开仓成本，适合温和看涨。

P/L = \max(S_T - K_1, 0) - \max(S_T - K_2, 0) - (P_1 - P_2)

P/L vs S_T最大亏 = 净权利金 3；最大盈 = K₂−K₁−净权利金 = 17

同时买入同行权价的 Call 与 Put（ $K=100$ ，各付 5，净付出权利金 10）。不下注方向，只下注波动幅度 — 只要 $S_T$ 偏离 $K$ 足够远，两侧都能赢。

P/L = \max(S_T - K, 0) + \max(K - S_T, 0) - (P_{\text{call}} + P_{\text{put}}) = |S_T - K| - 10

P/L vs S_TV 字形：双侧盈亏平衡 K±总权利金；中间位置最亏

买 1 张 $K_1 = 90$ Call，卖 2 张 $K_2 = 100$ Call，买 1 张 $K_3 = 110$ Call，净付出权利金约 2。下注 $S_T$ 落在中间窄区间。

P/L = \max(S_T - K_1, 0) - 2\max(S_T - K_2, 0) + \max(S_T - K_3, 0) - 2

P/L vs S_T尖顶：S_T = K₂ 时盈利最大；两侧封死最大亏 = 净权利金 2

三个例子的共同结构：每个 strike 是一个折点，相邻折点之间斜率恒定，斜率 = 该区间内已被行权的 Call 张数 − Put 张数。掌握这个观察，再复杂的组合也能徒手画出 P/L。

交易者看到任何一张 P/L 图，第一时间会扫过四个量。养成这个反射，胜过死记几十种策略名。

观察项	在图上找	含义
盈亏平衡点 BE	折线与 P/L = 0 的交点	$S_T$ 跨过它，仓位由亏转盈（或反之）
最大盈 / 最大亏	折线的最高点 / 最低点	单腿做空可能 −∞；价差 / 蝶式两端封死
斜率	每段折线的倾角	即在该价位区间 P/L 对 $S_T$ 的导数 — 等价于该区间净 Long − Short 张数
折点位置	每个 strike 处的拐弯	每个 K 在某一侧贡献一条新斜线，决定结构形状

注意一个边界条件：本章所有 P/L 公式都假设 $S_T$ 是已知的。但下一秒在交易所看到的报价并不是 $S_T$ ，而是对未来 $S_T$ 分布的当下估计。下一章我们就把 $S_T$ 升级为随机变量，给它套上一个概率分布。