第 3 章 · 价格概率模型

给到期价格 S_T 套上一个概率分布

理解为什么用 GBM、对数正态密度 p(S_T) 长什么样、σ 与时间 T 如何控制分布形状

前置假设 · Preconditions

本章核心式

S_T = S_0 \exp\!\left(\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right) T + \sigma\sqrt{T}\,Z\right),\quad Z \sim \mathcal{N}(0,1)

几何布朗运动（GBM）下，到期价格 $S_T$ 服从对数正态分布，由起点 $S_0$ 、漂移 $\mu$ 、波动率 $\sigma$ 与时间 $T$ 共四个参数决定。 $Z$ 是标准正态随机数。

1. 为什么不用正态：股价非负

上一章我们假装 $S_T$ 已知。现在把这个假装去掉。最朴素的想法是：股价的变化量 $\Delta S$ 服从正态分布。但这马上撞上一堵墙 — 正态分布的支撑是整条实数轴，会给负股价分配概率，而股票永远不会跌成负数。

经验上更合理的对象是对数收益 $\ln(S_T/S_0)$ 。它可正可负，且历史数据显示其分布形状非常接近正态。把它假设成正态：

\ln\!\left(\frac{S_T}{S_0}\right) \sim \mathcal{N}\!\left((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)T,\ \sigma^2 T\right)

反过来 $S_T = S_0 e^{(\cdot)}$ 就自动非负。这就是对数正态分布（log-normal）的来源 — 不是数学家拍脑袋选的，而是「正态 + 非负」两个约束的最简交集。

p(S)S

正态：N(100, 40²)对数正态：S₀=100, σ=0.4, T=1

正态 vs 对数正态：正态向左溢出到负值；对数正态严格右偏，左尾被 S=0 锁住

为什么对数收益近似正态？一种直觉来自独立同分布累加。把交易日切碎，每天的对数收益 $r_i = \ln(S_i/S_{i-1})$ 视为独立同分布的小随机变量：

\ln\!\left(\frac{S_T}{S_0}\right) = \sum_{i=1}^{N} r_i

根据中心极限定理，独立同分布变量之和趋向正态。所以一段时间的对数总收益近似正态，是中心极限定理的直接结果，与每天 $r_i$ 自身分布的细节无关。

连续时间下，把这个累加细化到每个无穷小时刻 $dt$ ，得到几何布朗运动（GBM）的随机微分方程：

\frac{dS_t}{S_t} = \mu\,dt + \sigma\,dW_t

解出来就是开头那个核心式。两点关键观察：

左边是「相对变化率」 $dS/S$ ，而不是绝对变化 $dS$ 。这就是「股价乘性增长」的数学化表达 — 100 块涨 1% 与 1000 块涨 1% 在 GBM 里是同一种事件。
波动项前的 $-\tfrac{1}{2}\sigma^2 T$ 不是噪声，而是波动拖累（Itô 修正）：哪怕 $\mu = 0$ ，几何平均也会低于算术平均。后续推导 d₁ / d₂ 时这一项会反复出现。

对数正态分布只有两个形状参数： $\sigma$ 与 $T$ ，且总是组合出现为 $\sigma\sqrt{T}$ — 这是定价里反复出现的波动尺度。

\text{Var}\!\left[\ln(S_T/S_0)\right] = \sigma^2 T \quad\Longrightarrow\quad \text{标准差} = \sigma\sqrt{T}

时间越长、波动越大，分布越宽 — 而且二者是对等的：把 $\sigma$ 翻倍与把 $T$ 变成 4 倍，对分布宽度的影响完全相同。这意味着定价时无法分别识别 σ 和 T，永远只能识别它们的乘积形态 $\sigma\sqrt{T}$ 。

p(S_T)S_T

σ=0.20, T=0.5 → σ√T≈0.14σ=0.30, T=1.0 → σ√T=0.30σ=0.40, T=2.0 → σ√T≈0.57

保持 S₀=100，三组 (σ, T)：σ√T 越大，分布越宽且峰越右移、越低

再观察一个细节：分布的众数（peak）总是在 $S_0$ 的左侧，但均值 $\mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{\mu T}$ 在右侧。右尾比左尾长得多 — 涨 100% 与跌 50% 是同一个量级的对数变化，价格层面却是两个完全不对称的距离。这是右偏分布的几何来源。

上一章的 P/L 折线告诉我们：给定 $S_T$ ，赚多少。本章的密度告诉我们： $S_T$ 落在哪儿的概率。把两条曲线叠在同一条横轴上，期权的「期望意义」就跃然纸上：

P/LS_T

P/L 折线S_T 概率密度

Long Call (K=100, P₀=5) 的 P/L 折线与 S_T 概率密度（S₀=100, μ=5%, σ=30%, T=0.5y）

看图问三个问题，下一章的方向就清晰了：

这三个问题的统一答案就是期望收益积分 $\mathbb{E}[f(S_T)] = \int f(S_T)\,p(S_T)\,dS_T$ 。第 4 章把它写下来，并立刻指出它仍然不是市场公允价格 — 这要等到第 5 章用风险中性测度才解决。