第 4 章 · 期望收益模型

用真实概率把 f(S_T) 与 p(S_T) 相乘求积分得到期望收益

建立 E[f(S_T)] = ∫ f(S_T) p(S_T) dS_T 的直觉与计算方法，看到「真实概率定价」的根本困境（每个人 μ 不同 → 价格不唯一）

前置假设 · Preconditions

已有 f(S_T)（第 2 章）与概率密度 p(S_T)（第 3 章）
暂时不考虑货币时间价值（不折现）
用主观 / 历史概率 μ 而非风险中性概率

本章核心式

\mathbb{E}\bigl[f(S_T)\bigr] = \int_{0}^{\infty} f(S_T)\, p(S_T)\, dS_T

把第 2 章的盈亏函数 $f(S_T)$ 与第 3 章的概率密度 $p(S_T)$ 相乘并对 $S_T$ 积分，就得到一个期权头寸的期望盈亏。注意：本章只用真实概率 $\mu$ ，不折现，先建立计算直觉。

1. 期望收益的几何：把 f 与 p 相乘

上一章我们让 $S_T$ 的密度 $p(S_T)$ 与 P/L 折线 $f(S_T)$ 共享同一条横轴。把它们「逐点相乘」 — 也就是把每一个 $S_T$ 处的盈亏按概率加权 — 得到的被积函数 $f(S_T)\,p(S_T)$ 才是真正决定期望的对象。

它的曲线下面积（带正负号）就是期望盈亏：

\mathbb{E}[f(S_T)] = \int_{0}^{\infty} f(S_T)\,p(S_T)\,dS_T

P/LS_T

f(S_T) = P/Lp(S_T)f · p （被积函数）

Long Call · S₀=100, K=100, P₀=5, σ=30%, T=0.5y, μ=8%。紫色阴影即被积函数 f·p — 它的代数面积就是期望 P/L。

注意几个直觉：

$S_T < K$ 区间被积函数等于 $-P_0 \cdot p(S_T)$ — 一段恒负的「保险费贡献」。
$S_T > K$ 之后被积函数随 $(S_T - K)$ 线性放大，但同时被密度的右尾衰减压低。
峰值出现在「概率还没衰减太多、payoff 已经够大」的位置 — 也就是策略收益最集中的那一段 $S_T$ 。

2. 参数清单：哪些已知、哪些麻烦

走到这里， $\mathbb{E}[f(S_T)]$ 这个积分总共依赖 6 个参数（来自 $f$ 和 $p$ 两边）。在继续讨论之前，必须先把它们分门别类 — 否则下一节我们偏偏要单独 sweep $\mu$ 时，读者会自然问：「σ、T 也是估计的，凭什么只挑 μ？」答案在下表里。

参数	来自哪里	客观性	在积分中的角色
S_0	当前股价（行情）	客观	密度 p 的位置参数
K	合约条款	客观	payoff f 的折点
T	合约条款（到期日）	客观	密度宽度按 √T 缩放
P_0	当前权利金（行情）	客观	f 的纵向平移
σ	历史波动率 / 隐含波动率	可估计	密度宽度按 σ 缩放
μ	主观预期收益率	无客观值	密度的中心漂移

关键区分在最后两行：

$\sigma$ 可估计但不引发争议。它有外生数据来源 — 看历史价格算样本标准差，或者直接读期权市场反推的隐含波动率。市场上所有人都从同样的数据出发，得到的 σ 即使有分歧也是有限的。换句话说，σ 是可标定参数，不是主观参数。
$\mu$ 没有外生数据来源。它是「未来一段时间股价平均往哪个方向走」 — 这件事既不能从历史样本可靠估计（样本误差远大于信号），也没有市场报价来反推。每个投资者只能凭自己的判断给一个数。

所以下一节 sweep μ 时请把其他五个参数当作已经从市场拿到的常数。我们要回答的是：「就算 σ、T、K、S₀、P₀ 全部对齐，只要每个人 μ 不同，期望盈亏的结论就不同 — 这是真实概率定价的死穴吗？」

3. 怎么把这个积分算出来

方法一：解析法。对数正态密度下 Call 的期望盈亏有封闭式（与 Black-Scholes 同形，只是 $r \to \mu$ ）：

\mathbb{E}[\max(S_T-K,0)] = S_0 e^{\mu T}\,N(d_1) - K\,N(d_2)

其中 $d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (\mu + \tfrac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}$ ， $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$ 。这正是下一章 Black-Scholes 公式的「真实概率版本」。

方法二：数值积分（梯形法）。把区间 $[1, 400]$ 切成 $n$ 段，每段用直线近似被积函数，求和即可。下面是同一个 Long Call（μ=8%）下不同 $n$ 的估计值：

分段数 n	梯形估计 E[P/L]	与解析值之差
10	7.3537	1.54e+0
50	5.8566	4.45e-2
200	5.8146	2.56e-3
1000	5.8120	-7.75e-5
解析	5.8121	—

方法三：蒙特卡洛。用第 3 章的核心式直接采样：抽 $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ ，算出 $S_T^{(i)} = S_0 \exp\!\left((\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T}\,Z^{(i)}\right)$ ，再对 $\frac{1}{N}\sum_i [\max(S_T^{(i)}-K,0) - P_0]$ 求平均。 $N \to \infty$ 时收敛到解析值，误差按 $1/\sqrt{N}$ 收敛。

三种方法得到的是同一个数。区别只是计算工具：解析法快但只对简单 payoff 可行；数值积分对任意 $f$ 都可用；蒙特卡洛对高维（多腿、路径依赖）问题最通用。

4. μ 的尴尬：每个人算出不同的价格

看起来我们已经能为期权定价了：算出 $\mathbb{E}[f(S_T)]$ ，再让 $P_0$ 取使期望为零的值。但仔细看核心式 — 它依赖一个外生参数 $\mu$ 。μ 是每个人对未来收益率的主观看法，没有客观值。

固定 $\sigma=30\%$ 、 $T=0.5$ 、 $K=100$ 、 $P_0=5$ ，让 μ 变化，看 Long Call 的期望盈亏：

E[P/L] (P_0=5)μ

期望 P/L 关于 μ 的曲线 — 单调递增。每个 μ 都给出一个不同的「公允权利金」（E=0 处的 P_0）

解读这张图：

图中紫色虚线 $\mu^*$ 处 $\mathbb{E}[P/L] = 0$ 。把它解释为「公允 μ」 — 但这个值和当前权利金 $P_0=5$ 一一对应，反过来不能定价。
悲观投资者（μ 低）会认为 Long Call 是亏的；乐观投资者（μ 高）会认为它是赚的。同一个合约，两个人给出截然不同的价。
市场必须有一个「所有交易对手都愿意接受」的价格才能成交 — 但只要每个人 μ 不同，就不存在这样的价格。

5. 通往无套利：换一种概率

解决方案不是「找出真正的 μ」 — 因为根本不存在。解决方案是换一个问题问：与其问「这份合约的期望收益是多少」，不如问「能否用现有的标的与现金，复制出这份合约未来所有可能状态下的盈亏」。

如果能复制，那么合约价 = 复制组合的当前成本 — 这是一个客观、唯一、所有人都同意的数字，不依赖任何主观 $\mu$ 。这就是无套利定价原理。

神奇的是：当我们把这个客观价格反向写成一个期望积分时，发现仍然是

C = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\bigl[f(S_T)\bigr]

形式与本章一模一样，只是把 $\mu$ 替换成无风险利率 $r$ ，并对结果按 $e^{-rT}$ 折现。这条「替换」对应一个新的概率测度 $\mathbb{Q}$ — 风险中性测度。它不代表任何人对未来的真实预测，而是一个让定价自洽的记账工具。

下一章我们就走这条路：用复制 + 无套利推出 Black-Scholes 公式，看 $\mu \to r$ 的替换为什么自动发生，以及 $d_1, d_2$ 在新测度下的几何含义。